田徑跑道占地面積精密計算法

田徑跑道占地面積精密計算法
　

　　田徑跑道占地面積的計算要求精確無誤，這對于跑道的設計、建設施工有著極其重要的現實意義，它可使設計時計算土石方及跑道面原材料的配方總數更加精確，防止不必要的人、財、物的浪費，所以，在設計修建田徑運動場地時，精確計算出跑道的占地面積就顯得很有必要。　　

　　為什么要提出精密計算問題呢?請看圖l。假如分別計算彎道和整個直道段的占地面積的話，那么，就會多余出如圖中的陰影部分所占的面積。
　　下面就如何采用精確計算方法來減少或消除田徑跑道占地面積的多余部分，提出一點自己的設想。
　　首先，我們可以分別計算出彎道段和直道段的面積，并把直道延長部分分成兩個三角形，計算出其中之一的面積，見圖２。這樣，陰影部分就會大大減少。但是，這樣計算出的面積和實際占地面積還有較大出入，如圖２陰影部分。

　　怎樣才能精確計算出田徑跑道的占地面積呢？方法是多種多樣的。下面介紹兩種比較簡單的方法。
１　積分法
　　我們知道，田徑場地的直、彎道處的情況可以分成以下幾種情況？見圖３?６。
　　根據以上圖形所示，我們可以得出如下的計算公式：
１．１　設圓心為原點，以直曲分界線為X軸，以場地縱中線為Y軸建立平面直角坐標系，我們計算圖內陰影部分的面積公式為：

　　　　　　（１）

１．２　在圖５情況下，積分上限不是r還需另外求出。其步驟為：
　　設直道延長部分為Ｚ，則積分上限ｂ＝Ｒ²－Ｚ²；計算出ｂ后代人上面公式可得：

　　　　　　（２）

１．３　假如跑道情況如圖６，即直道多于彎道。例如直道八條，彎道六條，計算方法可以根據具體情況分別采用公式（１）和公式（２）。
　　除了用積分法精確計算出跑道的占地面積外，我們還可以用初等數學方法，同樣能精確計算出跑道的占地面積，但一般來說，計算步驟比較煩瑣，現討論其中比較簡便的一種方法。
　　（１）如前所示，建立直角坐標系，從原點至直道里邊延長線與彎道外沿的交點Ａ引一條射線皋如圖７。

圖中ΔＡＯＣ的面積減去此三角形中的扇形面積即為陰影部分的面積，這樣，跑道占地面積就成為直道、陰影部分和扇形彎道面積之積了。
　　（２）在圖３，圖４情況下，ＯＣ即半徑ｒ；在圖５情況下

ＡＣ為已知條件。
　　（３）三角形ＡＯＣ的面積：
　　設ＡＣ為ｂ、ＯＣ為ａ；

　　則

　　（４）三角形內扇形面積：

　　（５）陰影部分面積；
　　Ｓ陰：（ＳΔ?Ｓ小）×４
　　（６）所余彎道扇形面積；

　　（７）跑道占地面積；
　　Ｓ＝Ｓ陰＋Ｓ扇＋Ｓ道
　　以上是分別用積分法和初等數學方法精確計算跑道占地面積的公式，下面就標準４００米田徑場地（ｒ＝３６，八條跑道，分道寬為１．２５米），如圖８情況下的跑道占地面積的詳細計算過程及方法如下，以供參考。

２　初等數學法如

　　以上結果可以看出，兩種計算方法都能精確地計算出田徑跑道的占地面積，其結果完全一樣。